La matrice di transizione deriva direttamente dal diagramma e rappresenta i legami e le probabilità nei passaggi da uno stato al successivo. Essa mostra chiaramente come la probabilità di passare dalla corsa alla corsa il giorno successivo sia di 0.01 o 1%. Oppure come dal riposo al riposo la probabilità sia solamente del 5%. Il totale di ogni riga rappresenta il 100% di probabilità.

• Se la prima attività è la corsa (P assegnata del 100%), quanto è probabile che la seconda attività sia il nuoto?

L’analisi markoviana può essere impostata con le matrici e risolto con un programma matematico. In questo esempio si è utilizzato il programma BlockSim mostrando gli State Point Results dove si può estrarre la probabilità allo step richiesto partendo dall’attività desiderata. La probabilità desiderata è impostata direttamente sul diagramma. IP:100%. Di conseguenza gli altri hanno probabilità associata dello 0%. Nell’esempio in questione, la probabilità che la seconda attività sia il nuoto è del 26.22%

Tale risultato è la somma di 4 probabilità condizionate. Più precisamente,

[P(corsa|corsa)*P(nuoto|corsa)] + [P(nuoto|corsa)*P(nuoto|nuoto)] + [P(riposo|corsa)*P(nuoto|riposo)] + [P(bici|corsa)*P(nuoto|bici)] =

P = [(0.01×0.245) + (0.245×0.05) + (0.5×0.25) + (0.245×0.5)] = 0.2622

Analogamente, la probabilità che il terzo stato sia la bici partendo sempre dalla corsa è del 27.6%

o più semplicemente

La matrice di transizione offre la risposta a tutte le sequenze di interesse. Per esempio, se l’agonista iniziasse con la corsa, con quale probabilità completerebbe la sequenza

Corsa=>Bici=>Nuoto=>Bici=>Riposto?

0.245×0.5×0.3×0.2=0.00735 o 0.735%

Una delle caratteristiche delle catene di Markov e di raggiungere uno stato stazionario dopo un certo numero di iterazioni. In altre parole, dopo un certo numero di iterazioni la probabilità di finire in uno stato è lo stesso indipendentemente da dove si ha iniziato. Questo lo si può vedere aumentando il numero di stati dove si vede che la probabilità di finire un determinato stato rimane pressoché costante.

Una domanda diversa potrebbe essere la probabilità di essere in ognuna delle quattro attività al quarto passaggio. In altre parole, se non inizio con una sequenza iniziale definita, quale sarà l’attività più probabile al 4 passaggio?

Per impostare questo problema si cambia la configurazione iniziale assegnando un 25% di probabilità ad ognuna delle attività. Si assegna cioè una distribuzione uniforme discreta così da avere la stessa probabilità di trovarsi in una delle attività come stato iniziale.

BlockSim QCP (Quick Calculation Pad) mostra che l’evento più probabile al 4 passaggio è la bicicletta con 29.15% seguito dal riposo al 28.35%. L’evento meno probabile è la corsa al 15.73%.