Degradazione moltiplicativa in ingegneria dell’affidabilità

In ingegneria dell’affidabilità lo studio delle caratteristiche di un prodotto avviene modellando la sua vita tramite funzioni e distribuzioni statistiche, poiché le metriche sotto esame sono espresse come probabilità. La distribuzione più conosciuta in statistica è la distribuzione normale, la quale ha come parametri un valore medio  e una deviazione standard . Questa è una distribuzione simmetrica intorno alla media, poiché è speculare rispetto all’asse passante per il valore medio. Molti fenomeni naturali, (pressione sanguigna, altezza di individui, errori in misurazioni, velocità delle particelle in un gas ideale, ecc.) seguono una distribuzione normale, mentre altri seguono distribuzioni asimmetriche. In quest’articolo analizzeremo questi ultimi, in particolare le distribuzioni di dati di guasto. Per un’introduzione al mondo dell’ingegneria dell’affidabilità, si consiglia la lettura dell’articolo “Nuovo all’ingegneria dell’affidabilità”.

Distribuzioni asimmetriche e funzione Weibull

I dati di guasto generalmente non seguono una distribuzione simmetrica, ma sono distribuiti in maniera asimmetrica all’interno dell’arco di vita del prodotto in esame. Ad esempio, un prodotto i cui campioni tendono maggiormente a guastarsi durante le prime ore di utilizzo si dice affetto da mortalità infantile. Al contrario, se i campioni tendono a guastarsi verso la fine della vita utile del prodotto, questo si dice affetto da guasti da usura. Tra questi due periodi vi è una fase di tasso di guasto costante, per cui i guasti sono considerati casuali. Questo andamento è rappresentato da una curva, denominata a vasca da bagno per via della sua particolare forma, la quale racchiude i diversi comportamenti che il prodotto può esibire durante la sua vita. I diversi comportamenti possono essere modellati indipendentemente attraverso multiple distribuzioni Weibull, la cui funzione è uno strumento molto versatile in ingegneria dell’affidabilità.

$$f(t) = \frac{\beta}{\eta}\biggl (\frac{t}{\eta}\biggr)^{\beta-1}e^{-\bigl (\frac{t}{\eta}\bigr )^\beta }$$

ed è governata da un parametro di forma $\beta$, e un parametro di scala $\eta$. Il primo è un valore puro, mentre il secondo riprende l’unità di misura utilizzata per misurare la vita del componente. Entrambi influenzano la forma della funzione densità di probabilità, con il parametro $\beta$ che ne determina la forma, ed $\eta$ che ne determina la larghezza. È grazie al $\beta$ che è anche possibile descrivere l’andamento del tasso di guasto di un prodotto. Un valore minore di 1 rappresenta mortalità infantile, un valore di $\beta$ uguale a 1 indica che il prodotto si guasta per motivi casuali. Infine, un  $\beta$ maggiore di 1 denota la propensione del prodotto a guastarsi a seguito di usura.

Da un punto di vista più pratico, vista la quasi impossibilità di ottenere un valore di 1.0 da un’analisi campionaria, valori di beta intorno al valore unitario indicano un andamento randomico. Sia che siano essi di poco inferiori o superiori. Diventa più difficile fissare un punto preciso (da un punto di vista pratico) dove inizia la vera e propria usura. Questo infatti dipende anche dal parametro di scala. Per esempio, un $\beta = 1.15$ indica che il prodotto soffrirà di usura. Tuttavia, questa sarà molto lenta nel tempo e difficile da gestire con manutenzione preventiva, se applicabile. Da un punto di vista pratico potrebbe rivelarsi un guasto quasi-randomico.

Nelle seguenti schermate possiamo osservare tre comportamenti diversi per diversi tipi di cuscinetti a sfera utilizzati in impianti eolici.[1]

Valori tipici dei parametri di vita di tre tipi di cuscinetti.

$\beta = 0.7, \eta = 1400$

$\beta = 1.3, \eta = 50000$

$\beta = 3.5, \eta = 250000$

Si può osservare come per un $\beta$ di 0.7 (fig 1) si abbia una marcata mortalità infantile. La popolazione di prodotti tende poi a guastarsi sempre più tardi all’aumentare di $\beta$ ($\beta = 1.3$), fino a mostrare una tendenza di guasto a seguito dell’usura ($\beta = 3.5$). Riguardo al valore di $\eta$, all’aumentare di questo la distribuzione si dilata nell’asse dei tempi.

Perché i dati di vita seguono distribuzioni asimmetriche?

I fattori che influenzano la vita di un prodotto sul campo sono estremamente vari, poiché agiscono in tempi diversi e in modalità molto diverse tra loro. Alcuni sono più prevalenti in certi periodi del ciclo di vita: ad esempio, il tipo di uso e l’ambiente in cui opera un prodotto giocano un ruolo fondamentale quando questo è sul campo, ed è dunque sottoposto a condizioni non controllate. L’applicazione di uno stress al di sopra dei valori prescritti stressa significativamente il componente portandolo alla rottura in un tempo anteriore rispetto al suo funzionamento in condizioni nominali.

Durante l’uso, poi, possono avvenire sbalzi di stress incontrollati/effetti transitori o interferenze umane che possono provocare danni alla struttura interna del prodotto senza portarlo direttamente alla rottura. Con il tempo il prodotto si indebolisce ulteriormente fallendo per cause ritenute “randomiche”. Questi danni provocano una degradazione moltiplicativa delle proprietà del prodotto, poiché i loro effetti aumentano proporzionalmente allo stato corrente di degradazione. È stato dimostrato che la degradazione moltiplicativa è modellabile tramite una distribuzione lognormale.

La distribuzione lognormale e il modello di degradazione moltiplicativa

Sebbene la distribuzione Weibull sia adatta a modellare un gran numero di comportamenti di vita, esistono molti fenomeni di fisica del guasto che seguono un comportamento di degradazione basato su un modello lognormale. Un esempio di questi sono:

  • guasti a causa di reazioni chimiche o degradazioni, come corrosione, elettromigrazione, o diffusione di cariche;
  • tempo di frattura dei metalli soggetti a incrinature da fatica
  • componenti elettronici che tendono a guastarsi meno frequentemente dopo un certo periodo di tempo.
  • In un contesto di fenomeni naturali, la funzione lognormale viene utilizzata per modellazione delle concentrazioni di contaminanti o di processi di decadimento naturale.

Una variabile y si dice lognormale se il comportamento del suo logaritmo naturale $\ln(y)$ ha un andamento di tipo normale. Una funzione lognormale a due parametri è caratterizzata dal parametro di forma $\sigma$ e il parametro di scala $T_50$ . La media $\mu\prime = \ln(T_50)$, mentre $\sigma\prime$ è la deviazione standard

$$\sigma\prime = \sqrt{e^{2\mu\prime + \sigma\prime^2}(e^{\sigma\prime^2}-1)}$$

Confronto fra funzioni densità di probabilità lognormali. Stessa log-media di 3, differenti log-deviazioni standard.

La funzione lognormale possiede la seguente funzione densità di probabilità:

$$f(t) = \frac{1}{t\sigma\prime\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\bigl(\frac{\ln(t)-\mu\prime}{\sigma\prime}\bigr)^2}$$

Con t tempi al guasto, $\mu\prime$ la media del logaritmo naturale dei tempi al guasto, e $\sigma\prime$ deviazione standard del logaritmo naturale dei tempi al guasto.

Degradazione moltiplicativa

Il concetto di degradazione moltiplicativa viene utilizzato per modellare situazioni in cui le prestazioni o la qualità di un sistema si deteriorano nel tempo a causa di molteplici piccoli effetti (ϵ) che si sovrappongono. Nel modellare questa degradazione utilizzando una distribuzione lognormale, si catturano efficacemente l’impatto cumulativo di questi fattori moltiplicativi.

Nei modelli di degradazione moltiplicativa, ogni fase di degradazione incrementale è una percentuale o un rapporto dello stato attuale piuttosto che un incremento in termini assoluti. Questo può essere descritto come:

$$X_{t+1}=X_t\epsilon_{t+1}$$

dove, Xt​ è lo stato del sistema (prestazione, qualità, ecc.) al tempo t, mentre ϵt+1 rappresenta il fattore moltiplicativo (spesso un numero piccolo prossimo all’unità) applicato ad ogni fase.

Ad esempio, se un sistema si degrada del 5% in ogni periodo, la degradazione ad ogni fase temporale viene accumulata al valore rimanente del sistema, portando a un declino di tipo esponenziale. Se si ipotizza ogni periodo la degradazione è di un fattore $\epsilon_t \sim \ln(\mu,\sigma^2)$, dove ϵt<1, dopo n periodi, l’efficienza totale Xn​ sarà data da

Il logaritmo di Xn sarà quindi normalmente distribuito, permettendoci di modellare analiticamente la probabilità di certi livelli di degradazione.

In sintesi, l’utilizzo di una distribuzione lognormale per la degradazione moltiplicativa è efficace per catturare la natura composta della degradazione in sistemi influenzati da numerosi piccoli fattori casuali.

Nel dettaglio, partendo da una condizione iniziale X0=100%, per ogni periodo il fattore di degradazione moltiplicativa εt = 0.95. Ciò significa che in ogni periodo, il sistema conserva una percentuale del suo stato precedente a causa del degrado.

X1 = X0 𝜖1 = 100*0.95 = 95%

X2 = X1 𝜖2 = 95*0.95 = 90.25%

X3 = X2 𝜖3 = 90.25*0.95 = 85.7375%

Dopo 3 periodi di perdite accumulate del 5% in ogni fase, il sistema ha raggiunto uno stato di degradazione X3 = 85.7375%

Osservazioni

La natura moltiplicativa della degradazione mostra effetti composti: anche se ogni periodo perde solo il 5%, la degradazione complessiva dopo tre periodi è quasi del 15%.

Questo approccio evidenzia il declino esponenziale tipico della degradazione moltiplicativa, in cui ogni degradazione si basa sulla ridotta efficienza del periodo precedente.

Perchè si usa un modello lognormale?

Quando si ha un prodotto di molte variabili casuali indipendenti (come i ε𝑡+1 fattori di cui sopra), il teorema del limite centrale (Il teorema del limite centrale afferma che la somma n di variabili indipendenti aventi identica distribuzione è una variabile che si distribuisce normalmente qualsiasi sia la tipologia di distribuzione di partenza) suggerisce che il logaritmo di questo prodotto di degradazioni tende a seguire una distribuzione normale se i fattori sono moltiplicativamente indipendenti e casuali, cioè $\ln(X_t) \sim N(\mu, \sigma^2)$.

Questo è il motivo per cui lo stato di degrado risultante 𝑋𝑡 (dopo molti piccoli eventi di degradazione casuale) segue una distribuzione lognormale.

L’uso della distribuzione lognormale nella modellazione della degradazione moltiplicativa riflette il fatto che gli effetti della degradazione si aggravano nel tempo, risultando in una distribuzione distorta, non negativa con una lunga coda.

Caratteristiche del modello lognormale di degradazione

  • Positività. Da momento che la degradazione è tipicamente non negativa, il modello lognormale è particolarmente adatto in quanto può gestire solo valori positivi.
  • Inclinazione a destra: La distribuzione lognormale con la sua inclinazione a destra, ben si adatta a gestire casi dove la degradazione stessa potrebbe accelerare a causa di fattori moltiplicativi più grandi del previsto.
  • La mediana come misura di tendenza centrale: Per la distribuzione lognormale, la mediana piuttosto che la media spesso serve come miglior misura centrale riflettendo il valore “tipico” di degradazione.

Esempio di un processo di degradazione moltiplicativa

Si consideri un materiale la cui forza può variare di un massimo del 5% ogni anno per un periodo di 30 anni. Questo comportamento può essere modellato tramite la funzione

$$A = 0.9 + 0.1R$$

Con R un valore casuale. Presumendo una forza iniziale B pari a 1, si calcoli la forza corrente del materiale come

$$B_i = A_iB_{i-1}$$

In questo caso, il valore  è la forza del materiale dopo 30 anni. Ripetendo questa simulazione per un 1000 volte, e calcolando il logaritmo naturale del  di ciascuna simulazione, si ottiene una distribuzione di valori aventi una log-media di circa -1.5, e una log-deviazione standard di circa 0.16 (questo risultato varia a seconda del seed impostato prima di compiere le simulazioni). Inserendo questi dati nella funzione Excel EXP(NORMINV(RAND(), -1.5, 0.16)), si ottiene un valore la cui distribuzione di probabilità è simile a quella della degradazione di forza a 30 anni. Ripetendo questo processo per circa 700 volte, si ottengono due liste di risultati, le cui funzioni di densità cumulative seguono un andamento pressoché identico. Questo esempio mostra dunque come una degradazione moltiplicativa segua un andamento lognormale.

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Degradazione moltiplicativa di un laser

Un ulteriore esempio di vita basata sulla funzione lognormale è dato dalla degradazione di un dispositivo laser. La luce emessa da un laser è proporzionale alla corrente erogata al circuito. Con l’avanzare dell’età del dispositivo, viene richiesta sempre più corrente per poter produrre una certa quantità di luce, e ciò porta inevitabilmente a un sovraccarico del circuito con conseguente rottura.

È possibile modellare questo comportamento ipotizzando che all’interno del laser crescano dei difetti che assorbono la luce e di conseguenza l’energia. Si considerino dei difetti casuali , con  l’area difettosa iniziale, e  l’area difettosa al momento della rottura. È possibile modellare la crescita del difetto secondo la seguente equazione

$$a_{i+1} – a_i = \delta_i a_i \Rightarrow a_{i+1} = a_i(1+ \delta_i)$$

Dunque,

$$a_n = a_0(1+\delta_0)\cdots(1+\delta_n)=a_0 \cdot \prod_{i=0}^{n}(1+\delta_i)$$

In forma logaritmica, si ottiene che

$$\ln(a_n) = a_0 + \sum_{i=0}^{n}\ln(1+\delta_i)=a_0+\sum_{i=0}^{n}\delta_i$$

Presumendo che $\delta_i$ sia un valore casuale con distribuzione indipendente, allora per il teorema del limite centrale è possibile affermare che l’equazione precedente convergerà a una distribuzione normale. Dunque, poiché il logaritmo di $a_n$ è una variabile casuale con distribuzione normale, allora $a_n$ è una variabile con distribuzione lognormale.

Conclusione

In questo articolo abbiamo analizzato le ragioni per cui i dati di guasto seguono distribuzioni asimmetriche e non simmetriche. È stata presentata una breve descrizione della funzione Weibull e le sue caratteristiche, avvalendoci di un esempio basato sulla vita dei cuscinetti a sfera. Analogamente è stata analizzata la funzione lognormale, a cui sono seguite una simulazione matematica in Excel e una dimostrazione pratica della relazione tra degradazione moltiplicativa e funzione lognormale.

Per un’analisi più approfondita dei fondamenti delle analisi di vita, vi invitiamo a leggere l’articolo “nuovo all’analisi Weibull”.

Bibliografia

[1] ‘Wear Analysis of Wind Turbine Bearings’. International Journal of Renewable Energy Research, no. v7i4, 2017. DOI.org (Crossref), https://doi.org/10.20508/ijrer.v7i4.6490.g7260.

[2] https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm

[3] https://mathscinotes.wordpress.com/2010/12/05/laser-failure-rate-estimate-example/